2ª Fase - Matemática

Dada a matriz

$$M = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ -7 & 3 \end{bmatrix}$$

calcule $M^{2020} + M^{2022} + M^{2024} + M^{2025} + M^{2029}$.

Seja $i$ tal que $i^2 = -1$. Determine a área do triângulo no plano complexo cujos vértices são as raízes da equação

$$\left(Z - \frac{3i}{2}\right)^3 = -27i$$

Dada a equação abaixo onde o valor de $\alpha$ é um número real

$$\frac{\alpha\cos(x)}{2\cos(2x)-1} = \frac{\alpha+\operatorname{sen}(x)}{(\cos^2(x)-3\operatorname{sen}^2(x))\operatorname{tg}(x)}$$

Determine:

1. os valores de $\alpha$ para os quais a equação admite solução;

2. as soluções, em radianos, da equação em função de $\alpha$.

Para $n$ natural positivo, o número $O_n$ é definido como a soma dos $n$ primeiros termos da progressão aritmética de razão $6$ iniciada em $1$. Dos $2024$ primeiros números $O_n$, quantos apresentam resto $1$ na divisão por $8$?

Para cada número inteiro $k \geqslant 1$, seja

$$S_k = \sum_{n=1}^{k} \frac{2^n + n^2 + n}{2^{n+1} n(n+1)}$$

Determine o menor valor de $k$ para o qual

$$|S_k - 1| < \frac{265}{4608}$$

João nasceu no ano $n$ e está prestando vestibular para o IME em $2023$. Sejam $A$, $B$ e $C$ conjuntos de inteiros positivos tais que $|A| = |B| + 4$. Sabe-se que há $n$ funções estritamente crescentes de $A$ para $C$, bem como de $B$ para $C$.

Observações:

• $|S|$ representa o número de elementos do conjunto $S$;
• uma função é estritamente crescente quando $x_1 < x_2$ implica $f(x_1) < f(x_2)$.

Diante do exposto, determine:

1. o número de funções $f$ estritamente crescentes de $A$ para $C$ em função de $|A|$ e $|C|$;

2. o ano no qual João nasceu.

Dado um plano $\pi$ e uma reta $r$ nele contida, sejam $A$ e $B$ pertencentes a $\pi$ dois pontos em um mesmo semiplano definido por $r$. O ponto $A'$ é o simétrico a $A$ em relação à reta $r$. Os segmentos de reta $AA'$ e $A'B$ interceptam a reta $r$ nos pontos $C$ e $M$, respectivamente. Se $N$ é um ponto da reta $r$ distinto de $M$, prove que

$$\overline{AM} + \overline{MB} < \overline{AN} + \overline{NB}$$

Dada a equação abaixo onde o valor de $\alpha$ é um número real

$$\frac{\alpha\cos(x)}{2\cos(2x)-1} = \frac{\alpha+\operatorname{sen}(x)}{(\cos^2(x)-3\operatorname{sen}^2(x))\operatorname{tg}(x)}$$

Determine:

1. os valores de $\alpha$ para os quais a equação admite solução;

2. as soluções, em radianos, da equação em função de $\alpha$.

Os pontos $A(1,3)$, $B(2,6)$, $C(7,5)$ e $D(7,3)$ situam-se sobre lados distintos de um quadrado $EFGH$. Determine as coordenadas dos vértices desse quadrado.

Considere uma pirâmide triangular regular reta de altura $h$. Uma esfera de raio $r$ contém os ortocentros das faces laterais da pirâmide e o vértice do qual foi traçada a altura da pirâmide. Calcule o volume da pirâmide em função de $r$ e $h$.